SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL

Sebagian dari matematika berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real,sehingga sistem bilangan real penting untuk kita pahami terlebih dahulu.

                                                             

Bilangan Riil

Bilangan Irasional

Bilangan Rasional

Gb. 1.2: Skema Sistem Bilangan Riil

Dari skema bilangan menunjukkan bahwa bilangan riil menunjukkan universal bilangan baru.

Bilangan real dapat direpresentasikan secara geometri sebagai titik pada suatu garis bilangan real.

Simbol sistem bilangan real ataupun garis bilangan real dapat dinyatakan dengan =

Sedangkan himpunan bagian dari garis bilangan berupa segmen garis atau interval dinotasikan dengan himpunan sebagai berikut.

Garis bilangan :

---------------[a--------------b]-----------------

Interval dan himpunan:  ,  =           

Garis bilangan :

---------------[a--------------b)-----------------

Interval dan himpunan:  ,  =           

Garis bilangan :

---------------(a--------------b]-----------------

Interval dan himpunan: ,  =          

         Garis bilangan :

---------------(a--------------b)-----------------

Interval dan himpunan: ,  =           

Garis bilangan :

---------------a]-------------------------------

Interval dan himpunan: ,  =           

Garis bilangan :

---------------a)-------------------------------

Interval dan himpunan: ,  =           

Garis bilangan :

-----------------------------[b-----------------

Interval dan himpunan: ,  =          

Garis bilangan :

-----------------------------(b-----------------

Interval dan himpunan: ( ,  =      

1.7  BILANGAN RIIL dan PENYUSUNNYA

Bilangan riil adalah himpunan bilangan yang terdiri atas :

1)      Bilangan Asli

Bilangan asli adalah bilangan yang diawali dengan angka 1.

Bilangan asli ini dilambangkan dengan huruf A, atau dapat juga ditulis dalam bentuk

A = {1, 2, 3, 4, …}.

2)      Bilangan Cacah

Bilangan cacah adalah gabungan bilangan asli dengan 0.

Bilangan cacah ini dilambangkan dengan huruf C, atau dapat juga ditulis dalam bentuk

C = {0, 1, 2, 3, …}.

3)      Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah gabungan antara bilangan cacah dan bilangan negatif. Bilangan bulat dilambangkan dengan huruf B, atau dapat juga dalam bentuk

B = { …, -2, -1, 0, 1, 2, … }

4)      Bilangan Prima

Bilangan prima adalah bilangan yang mempunyai tepat dua faktor atau pembagi yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.

P = { 2, 3, 5, 7, ..... }

5)      Bilangan Komposit

Bilangan Komposit adalah bilangan bulat positip yang bukan 0,1 dan prima

K = {4,6,8,9,10, ....... }

6)      Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a,b  B dan b  0

Bilangan rasional dilambangkan dengan Q, atau dapat juga ditulis dalam bentuk

 Q = { …, -4, , , 0, , ,…}

Ciri lain bilangan Rasional dalam bentuk desimal selalu berakhir atau berulang,

 misal:   ½ = 0,5                      

            7/4= 1¾ = 1,75

            -2/3 = –0,6666..... = – 0,   

7)      Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a,b  B dan b  0

Ciri lain bilangan Irasional dalam bentuk desimal selalu tidak berakhir atau tidak berulang,

 misal:   = 1,414213....

            = 3,1459....  

1.8  OPERASI pada BILANGAN RIIL

1)      Operasi Penjumlahan

Operasi penjumlahan pada bilangan riil berlaku sifat :

Komutatif  a + b = b + a  misal:  3 + 5 = 5 + 3

Assosiatif  (a + b) + c = a + (b + c)  misal:  (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

2)      Operasi Pengurangan

Operasi pengurangan pada bilangan riil tidak berlaku sifat komutatif maupun assosiatif.

3)      Operasi Perkalian

Operasi perkalian pada bilangan riil berlaku sifat:

Komutatif  a x b = b x a  misal:  5 x 7 = 7 x 5

Assosiatif  (a x b) x c = a x (b x c)  misal:  (3 x 5) x 7 = 3 x (5 x 7)

Distributif  a x (b + c) = (a x b) + (a x c)  misal:  2 x (3 + 5) = (2 x 3) + (2 x 5)

       a x (b – c) = (a x b) – (a x c)  misal:  2 x (3 – 5) = (2 x 3) – (2 x 5)

4)      Operasi Pembagian

Operasi pembagian pada bilangan riil tidak berlaku sifat komutatif, assosiatif, maupun distributif.

1.9  PERSAMAAN

Teorema,

Jika P(x), Q(x), dan R(x) bentuk-bentuk akar dalam x, maka untuk setiap nilai x, yang mana P(x), Q(x) dan R(x) real, kalimat terbuka P(x) = R(x) adalah ekuvalen dengan tiap-tiap dari yang berikut :

       P(x) +R(x) = Q(x) +R(x)      

                                                         untuk x € {x/ R(x) ≠ 0

         P(x) .R(x) = Q(x) .R(x) 

1.10  PERTIDAKSAMAAN 

Permasalahan Matematika yang berkaitan dengan interval terletak pada pertidaksamaan aljabar. Himpunan jawab atau solusi dari pertidaksamaan aljabar merupakan salah satu dari bentuk interval atau segmen garis.  Adapun penjelasannya diberikan sebagai berikut,

Bentuk umum pertidaksamaan aljabar :

f(x) g(x)

f(x) g(x)

(tanda dapat diganti dengan )

Himpunan semua bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan disebut himpunan penyelesaian atau solusi  pertidaksamaan.

Cara mencari solusi pertidaksamaan aljabar sebagai berikut :

1.      Jika kedua fungsi linier, variabel pindahkan ke ruas kiri dan konstata ke ruas kanan

2.      Jikafungsi kuadrat, buat ruas kiri menjadi nol.

3.      Cari pembuat nol

4.      Gambarkan pada garis bilangan semua pembuat nol dan tentukan interval yang memenuhi.

Contoh :

a.       2x – 5  3x + 2

Jawab,

 2x – 3x  2 + 5

 –x  7

 x – 7  (didapat dengan mengalikan/membagi – 1 maka tanda berubah)

Garis bilangan :

-------------[–7---------------

Interval dan himpunan penyelesaian : ,  =  

Contoh :

b.      3 2x+1 5

Jawab,

             3 – 1< 2x+1–1 5 – 1

            2x

x

            Garis bilangan :

---------------(1---------------2]-----------------

Interval dan himpunan penyelesaian: ,  =

Contoh :

c.       x² + 2x – 3 x + 3

Jawab,

            x² + 2x – 3 – x – 3  

 x² + x – 6  

 (x + 3)(x – 2)  

           Pembuat nol:

           (x + 3)(x – 2) =  

            x =– 3 atau x = 2

                                    Garis bilangan : 

---------------(-3---------------2)-----------------

Interval dan himpunan penyelesaian: ,  =